Eine Landkarte für das Reich der Unendlichkeiten
Es gibt unterschiedliche Unendlichkeiten. Das sorgt in der Mathematik schon lange für Verwirrung. An der TU Wien fand man nun eine verblüffende neue Möglichkeit, eine große Klasse von Unendlichkeiten zu ordnen.
Es ist eine der ganz großen Fragen in der Mathematik: Was bedeutet eigentlich „unendlich“? Welche Unendlichkeiten sind noch unendlicher als andere Unendlichkeiten? Kann man eine Reihenfolge von Unendlichkeiten bauen, wie eine unendliche Leiter, auf der man von jeder Sprosse genau sagen kann, ob sie über oder unter einer bestimmten anderen Sprosse liegt?
Im 20. Jahrhundert stellte man fest: Manche dieser Fragen lassen sich mathematisch prinzipiell nicht beantworten. William Chan von der TU Wien verwendete nun einen etwas bescheideneren Ansatz: Er löste sich von der Forderung, dass es eine einzige klare Hierarchie von Unendlichkeiten geben muss. Und genau dadurch stieß er auf etwas Bemerkenswertes: Wenn man Unendlichkeiten nicht linear anordnet, sondern in einem zweidimensionalen System einträgt, dann lösen sich scheinbare Probleme auf und eine simple Ordnung entsteht – sozusagen eine zweidimensionale Landkarte von Unendlichkeiten.
Unendlich viele Katzen
Wie kann man zwei Zahlen überhaupt vergleichen? Ganz einfach: Man ordnet jedem Element einer Menge ein Element einer anderen Menge zu. Wenn man fünf Katzen hat und fünf Futterschüsseln, dann kann man jede Katze vor eine Futterschüssel setzen. Dann weiß man: Die Katzenzahl und die Futterschüsselzahl ist gleich. Bleiben Schüsseln übrig, ist die Schüsselmenge größer als die Katzenmenge.
„Dasselbe kann man auch mit unendlich großen Mengen machen“, erklärt William Chan vom Institut für Diskrete Mathematik und Geometrie der TU Wien. „So ist etwa die Menge der natürlichen Zahlen genauso groß wie die Menge der geraden Zahlen.“
Das klingt merkwürdig, weil nur die Hälfte der Zahlen gerade sind – aber man kann alle geraden Zahlen durchnummerieren: 2 bekommt die Nummer 1, 4 die Nummer 2, 6 die Nummer 3 und so weiter. Am Ende bleibt keine Zahl übrig. Der Mathematiker Georg Cantor konnte beweisen: Mit reellen Zahlen funktioniert das nicht. Die Menge aller Zahlen mit unendlich vielen Nachkommastellen lässt sich nicht durchnummerieren. Sie ist größer als die Menge der natürlichen Zahlen – auch wenn beide Mengen unendlich groß sind.
Eine große Frage und ihr Scheitern
Damit ergab sich eine große Frage, an der viele Mathematiker_innen scheitern sollten: Gibt es Unendlichkeiten beliebiger Größe, auch in beliebigen Zwischenstufen? Gibt es eine Menge, die mehr Elemente hat als die Menge der natürlichen Zahlen, aber weniger als die Menge der reellen Zahlen?
Um das zu untersuchen, verwendet man meist die mathematischen Grundregeln, die man als „Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre“ bezeichnet, und das sogenannte „Auswahlaxiom“. Es sagt: Habe ich beliebig viele Mengen, die nicht leer sind, kann man aus jeder ein Element auswählen. Das klingt selbstverständlich: Aus jeder Schüssel mit Erdbeeren kann ich selbstverständlich eine Erdbeere herausnehmen. Aber bei unendlichen Mengen, für die keine explizite Auswahlregel vorgegeben ist, kann man nicht von vornherein sagen, dass es so eine „Auswahlfunktion“ geben muss.
Das Auswahlaxiom ermöglicht es, unendlich große Mengen zu sortieren – eine Unendlichkeit nach der anderen, wie die Sprossen einer unendlich langen Leiter. Und nun kann man fragen: Wenn die erste Sprosse die Unendlichkeit der natürlichen Zahlen ist – die kleinste Unendlichkeit, die wir kennen – auf welcher Sprosse befindet sich dann die Unendlichkeit der reellen Zahlen? Gleich auf der nächsten? Oder erst weiter oben?
Diese Frage wurde nach Jahrzehnten der Forschung beantwortet – allerdings nicht so, wie man das erwartet hatte: Man konnte zeigen, dass die Frage im Rahmen der üblichen mathematischen Axiome (die Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre und das Auswahlaxiom) nicht beantwortbar ist. Die allgemein akzeptierten Grundgesetze der Mathematik legen keine Antwort fest.
Mathematik ohne Auswahlaxiom
„Doch was passiert, wenn man das Auswahlaxiom weglässt?“ fragte sich William Chan. Er griff dabei auf Konzepte aus den 1960er-Jahren zurück. Schon damals wurde gezeigt: Man kann dieses Auswahlaxiom etwa mit dem Axiom der Determiniertheit ersetzen – das ist eine andere Form von Regelmäßigkeit, die mit dem Auswahlaxiom unvereinbar ist.
Das Axiom der Determiniertheit sagt: Wenn zwei Spieler_innen in einem komplizierten unendlichen Auswahlprozess nach bestimmten Regeln eine unendliche Zahlenfolge bauen, lässt sich für einen von ihnen immer eine Strategie finden, mit der er den Ausgang des Spiels erzwingen kann. Das ist vielleicht etwas technischer und weniger intuitiv als das Auswahlaxiom, aber auch damit kann man mathematische Struktur erzeugen.
In einem mathematischen System, das statt des Auswahlaxioms das Axiom der Determiniertheit enthält, kann man etwa untersuchen, wie aus unendlichen Mengen andere unendliche Mengen entstehen.
Der typische Weg ist: Man erzeugt eine neue Menge aus Abbildungen einer Menge auf eine andere Menge. Man kann zum Beispiel die Menge der reellen Zahlen als Menge von Zahlen mit unendlich vielen Nachkommastellen betrachten. Jede Nachkommastelle hat einen Wert von 0 bis 9 – und davon gibt es unendlich viele. Man nimmt also die Zahlenmenge 0 bis 9 und nimmt so oft eine davon, wie es natürliche Zahlen gibt – dann hat man die reellen Zahlen. Symbolisch gesprochen: Die Menge [0,9] hoch unendlich (oder präziser: zehn hoch Aleph-null) ergibt die Mächtigkeit des Kontinuums.
Statt der endlichen Menge [0,9] kann man auch unendlich große Mengen hoch unendlich großen Mengen nehmen und aus den unendlichen Möglichkeiten der Abbildungen zwischen ihnen neue Unendlichkeiten definieren.
Ordnung der Unendlichkeiten: Nicht auf einer Linie, aber auf einer Landkarte
William Chan fragte nun: Was, wenn wir solche Unendlichkeiten gar nicht der Reihe nach ordnen wollen, sondern wenn wir sie auf einem zweidimensionalen Schema anordnen, wie die Punkte einer Landkarte? Seien A, B, C und D unterschiedliche Unendlichkeiten. Kann man dann A hoch B vergleichen mit C hoch D? Das kommt darauf an, sagt William Chan: Wenn A größer ist als C und B größer ist als D, dann ist der Vergleich sonnenklar: A hoch B ist größer. Aber was, wenn man das Kleiner hoch etwas Größerem vergleicht mit etwas Größerem hoch etwas Kleinerem? Was ist dann mehr? William Chan sagt: Dann sind diese beiden Größen nicht vergleichbar. Es gibt keine lineare Reihenfolge dieser Unendlichkeiten – man muss sie mit zwei Zahlen beschreiben. A, B ist ein Punkt in der Unendlichkeitslandkarte und C, D ist ein anderer.
Und erstaunlicherweise zeigt sich: Mit diesem Verzicht auf eine „Unendlichkeits-Leiter“ wird die Algebra der Unendlichkeiten plötzlich bemerkenswert einfach und zeigt eine reiche Struktur. Man kann bereits bekannte Ergebnisse über Unendlichkeiten in dieser Landkarte einbetten, ohne Widersprüche zu verursachen. Und all das nur weil man das Auswahlaxiom und die „unendliche Leiter“ beiseitegelegt hat.
Hat man damit das uralte Rätsel von der Mächtigkeit unendlicher Mengen gelöst? Vermutlich noch lange nicht. „Aber es ist eine verblüffend einfache und fruchtbare Art, über das Sortieren unendlicher Mengen neu nachzudenken“, sagt William Chan.
Wissenschaftlicher Ansprechpartner:
William Chan, PhD
Institut für Diskrete Mathematik und Geometrie
Technische Universität Wien
william.chan@tuwien.ac.at
Originalpublikation:
William Chan: „The ABCD hypothesis“. Proceedings of the National Academy of Sciences (PNAS), 123 (44), e2621223123 (2026).
DOI: https://doi.org/10.1073/pnas.2621223123
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